📘 第1章 信号与系统概述
信号是信息的载体，系统是对信号进行加工处理的物理装置或算法。
1.1 信号的概念 常考
信号的分类
自变量连续取值，记作 $f(t)$
如：$f(t) = \sin(\omega t)$
自变量取离散值，记作 $f(k)$
如：$f(k) = a^k u(k)$
满足 $f(t) = f(t + mT)$，$T$ 为周期
离散周期：$f(k) = f(k + mN)$
不存在这样的 $T$ 使等式成立
$$ E = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt < \infty $$
$$ P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(t)|^2 dt < \infty $$
1.2 信号的运算 常考
基本运算
信号的运算包括：加法、乘法、平移、反转、尺度变换。
加法
$$ f_1(t) + f_2(t) $$乘法
$$ f_1(t) \cdot f_2(t) $$平移
$$ f(t - t_0) $$反转
$$ f(-t) $$尺度变换
$$ f(at), a > 0 $$对 $f(t)$ 进行 $f(at + b)$ 变换时，运算顺序为：
先平移，再尺度变换（也可以先尺度变换再平移，但平移量需调整）
$$ f(t) \xrightarrow{\text{平移}} f(t + b) \xrightarrow{\text{尺度}} f(at + b) $$
注意：$f(at + b) = f\left[a\left(t + \frac{b}{a}\right)\right]$，即先尺度再平移时平移量为 $b/a$
1.3 阶跃信号和冲激信号 必考
单位阶跃信号
单位冲激信号
冲激函数的性质
取样性
$$ f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t) $$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t) dt = f(0) $$偶对称
$$ \delta(-t) = \delta(t) $$尺度变换
$$ \delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t) $$冲激偶
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta'(t) dt = -f'(0) $$1.4 系统概念与分类 常考
系统分类
线性系统
满足齐次性和叠加性$$ T[af_1 + bf_2] = aT[f_1] + bT[f_2] $$
时不变系统
参数不随时间变化$$ T[f(t-t_0)] = y(t-t_0) $$
因果系统
输出只取决于当前及过去输入$$ t < t_0 \text{时} f(t)=0 \Rightarrow t < t_0 \text{时} y(t)=0 $$
稳定系统
有界输入产生有界输出BIBO: $|f(t)| \leq M_f \Rightarrow |y(t)| \leq M_y$
判断 $y(t) = t f(t)$ 是否为线性系统：
$T[af_1+bf_2] = t[af_1(t)+bf_2(t)] = a[t f_1(t)] + b[t f_2(t)] = a y_1(t) + b y_2(t)$ ✓ 线性
判断 $y(t) = f^2(t)$ 是否为线性系统：
$[af_1+bf_2]^2 = a^2 f_1^2 + 2ab f_1f_2 + b^2 f_2^2 \neq a f_1^2 + b f_2^2$ ✗ 非线性
1.5 LTI系统的性质 必考
LTI系统的性质
线性
满足齐次性和叠加性时不变性
响应波形形状与起始时间无关微分性质
若 $f(t) \to y(t)$，则 $f'(t) \to y'(t)$积分性质
若 $f(t) \to y(t)$，则 $\int f(t)dt \to \int y(t)dt$1.6 系统的描述方法 常考
微分方程（连续系统）
n 阶LTI连续系统：
$$ \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + a_0 y = b_m\frac{d^m f}{dt^m} + \cdots + b_0 f $$差分方程（离散系统）
n 阶LTI离散系统：
$$ y(k+n) + a_{n-1}y(k+n-1) + \cdots + a_0 y(k) = b_m f(k+m) + \cdots + b_0 f(k) $$系统框图
系统框图使用基本运算单元（加法器、乘法器、积分器/延迟器）描述系统结构。
📗 第2章 连续系统的时域分析
在时间域中研究LTI连续系统对信号的响应。
2.1 LTI连续系统的响应 必考
微分方程的经典解法
n 阶系统微分方程：
$$ y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0 y(t) = b_m f^{(m)}(t) + \cdots + b_0 f(t) $$全响应 = 齐次解 + 特解
由特征方程 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ 的根决定
反映系统的固有特性
由输入信号的形式决定
反映系统对外部激励的响应
另一种分解：零输入响应 + 零状态响应
无外部输入，仅由初始状态引起
满足 $y_{zi}^{(n)} + a_{n-1}y_{zi}^{(n-1)} + \cdots + a_0 y_{zi} = 0$
初始状态为0，仅由外部输入引起
$$ y_{zs}(t) = f(t) * h(t) $$
零输入响应 $y_{zi}(t)$ 的求解步骤
零状态响应 $y_{zs}(t)$ 的求解步骤
而 $y_{zi}^{(j)}(0_+) = y^{(j)}(0_-)$（零输入无跳变）
$y_{zs}^{(j)}(0_+) - y_{zs}^{(j)}(0_-) = $ 跳变量（由输入在 $t=0$ 处的奇异函数决定）
题目：已知 $y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)$，$f(t) = e^{-t}u(t)$，$y(0_-)=1$，$y'(0_-)=0$，求 $y_{zi}(t)$、$y_{zs}(t)$ 和全响应 $y(t)$。
解法一：零输入 + 零状态法
① 求零输入响应 $y_{zi}(t)$：
特征方程 $\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$，特征根 $\lambda_1=-2$，$\lambda_2=-3$
$y_{zi}(t) = C_{zi1}e^{-2t} + C_{zi2}e^{-3t}$
由 $y_{zi}(0_+)=y(0_-)=1$，$y_{zi}'(0_+)=y'(0_-)=0$：
$\begin{cases} C_{zi1} + C_{zi2} = 1 \\ -2C_{zi1} - 3C_{zi2} = 0 \end{cases}$
解得 $C_{zi1}=3$，$C_{zi2}=-2$
$y_{zi}(t) = (3e^{-2t} - 2e^{-3t})u(t)$
② 求冲激响应 $h(t)$：
令 $h''(t) + 5h'(t) + 6h(t) = \delta(t)$，初始状态为0
利用冲激平衡法或拉普拉斯变换得：$h(t) = (e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$
③ 求零状态响应 $y_{zs}(t)$：
$y_{zs}(t) = f(t) * h(t) = e^{-t}u(t) * (e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$
$= \int_0^t e^{-\tau}[e^{-2(t-\tau)} - e^{-3(t-\tau)}]d\tau$
$= e^{-2t}\int_0^t e^{\tau}d\tau - e^{-3t}\int_0^t e^{2\tau}d\tau$
$= e^{-2t}(e^t-1) - e^{-3t}\cdot\frac{1}{2}(e^{2t}-1)$
$= e^{-t} - e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-3t}$
$= \frac{1}{2}e^{-t} - e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t}$
④ 全响应：
$y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t) = (3e^{-2t} - 2e^{-3t}) + (\frac{1}{2}e^{-t} - e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t})$
$= \frac{1}{2}e^{-t} + 2e^{-2t} - \frac{3}{2}e^{-3t}$
2.2 冲激响应和阶跃响应 必考
冲激响应 $h(t)$
系统在单位冲激信号 $\delta(t)$ 激励下的零状态响应。
$$ f(t) = \delta(t) \quad \Rightarrow \quad y_{zs}(t) = h(t) $$求 $h(t)$ 的冲激平衡法
例题：求 $y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f(t)$ 的冲激响应 $h(t)$。
解：
① 特征方程 $\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$，$\lambda_1=-1$，$\lambda_2=-2$
② 设 $h(t) = (C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t})u(t)$（$m=0<n=2$，不含 $\delta(t)$）
③ 初始条件：$h(0_+)=0$，$h'(0_+)=1$（由 $\delta(t)$ 平衡法得）
$\begin{cases} C_1 + C_2 = 0 \\ -C_1 - 2C_2 = 1 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $C_1=1$，$C_2=-1$
④ $h(t) = (e^{-t} - e^{-2t})u(t)$
阶跃响应 $g(t)$
系统在单位阶跃信号 $u(t)$ 激励下的零状态响应。
$$ f(t) = u(t) \quad \Rightarrow \quad y_{zs}(t) = g(t) $$冲激响应与阶跃响应的关系
$$ h(t) = \frac{d}{dt}g(t), \quad g(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau)d\tau $$2.3 卷积积分 必考
卷积积分的定义
$$ y(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau $$对于因果信号：
$$ y(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau \quad (t \geq 0) $$图解法求卷积
计算 $u(t) * u(t)$：
$$ u(t) * u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) u(t-\tau) d\tau = \int_{0}^{t} 1 \cdot 1 d\tau = t u(t) $$即：$u(t) * u(t) = t u(t)$
推广：$u(t) * u(t) * u(t) = \frac{t^2}{2} u(t)$
2.4 卷积积分的性质 常考
交换律
$$ f_1 * f_2 = f_2 * f_1 $$结合律
$$ (f_1 * f_2) * f_3 = f_1 * (f_2 * f_3) $$分配律
$$ f_1 * (f_2 + f_3) = f_1 * f_2 + f_1 * f_3 $$微分性质
$$ (f_1 * f_2)' = f_1' * f_2 = f_1 * f_2' $$积分性质
$$ \int (f_1 * f_2) dt = (\int f_1 dt) * f_2 = f_1 * (\int f_2 dt) $$冲激卷积
$$ f(t) * \delta(t) = f(t) $$ $$ f(t) * \delta(t-t_0) = f(t-t_0) $$📙 第3章 离散系统的时域分析
在时间域中研究LTI离散系统对序列信号的响应。
3.1 LTI离散系统的响应 必考
差分方程的经典解法
n 阶LTI离散系统：
$$ y(k) + a_{n-1}y(k-1) + \cdots + a_0 y(k-n) = b_m f(k) + \cdots + b_0 f(k-m) $$全响应 = 齐次解 + 特解
由特征方程 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ 的根决定
单根：$C\lambda^k$；重根：$C_1\lambda^k + C_2 k\lambda^k + \cdots$
由输入序列的形式决定
如：$f(k)=k^m$ 设 $P_m k^m + \cdots$
零输入响应 + 零状态响应
$$ y(k) = y_{zi}(k) + y_{zs}(k) $$ $$ y_{zs}(k) = f(k) * h(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i) $$3.2 单位序列响应和阶跃响应 必考
单位序列响应 $h(k)$
系统在单位序列 $\delta(k)$ 激励下的零状态响应。
$$ f(k) = \delta(k) \quad \Rightarrow \quad y_{zs}(k) = h(k) $$阶跃响应 $g(k)$
系统在单位阶跃序列 $u(k)$ 激励下的零状态响应。
$$ f(k) = u(k) \quad \Rightarrow \quad y_{zs}(k) = g(k) $$单位序列响应与阶跃响应的关系
$$ h(k) = g(k) - g(k-1), \quad g(k) = \sum_{i=-\infty}^{k} h(i) $$3.3 卷积和 必考
卷积和的定义
$$ f_1(k) * f_2(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i) $$对于因果序列：
$$ f_1(k) * f_2(k) = \sum_{i=0}^{k} f_1(i) f_2(k-i) \quad (k \geq 0) $$卷积和的性质
交换律
$$ f_1 * f_2 = f_2 * f_1 $$结合律
$$ (f_1 * f_2) * f_3 = f_1 * (f_2 * f_3) $$分配律
$$ f_1 * (f_2 + f_3) = f_1 * f_2 + f_1 * f_3 $$冲激卷积
$$ f(k) * \delta(k) = f(k) $$ $$ f(k) * \delta(k-k_0) = f(k-k_0) $$计算 $a^k u(k) * u(k)$：
$$ a^k u(k) * u(k) = \sum_{i=0}^{k} a^i = \frac{1-a^{k+1}}{1-a} u(k) \quad (a \neq 1) $$计算 $u(k) * u(k)$：
$$ u(k) * u(k) = \sum_{i=0}^{k} 1 = (k+1)u(k) $$📕 第4章 傅里叶变换与频域分析
将信号从时域变换到频域，从频率角度分析信号和系统。
4.1 信号分解为正交函数 了解
正交函数集
若函数集 $\{\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t)\}$ 满足：
$$ \int_{t_1}^{t_2} \varphi_i(t) \varphi_j^*(t) dt = \begin{cases} 0, & i \neq j \\ K_i, & i = j \end{cases} $$则称为正交函数集。
完备正交函数集
三角函数集 $\{1, \cos nt, \sin nt\}$ 和虚指数函数集 $\{e^{jn\omega t}\}$ 是两组典型的完备正交函数集。
4.2 周期信号的傅里叶级数 必考
三角形式的傅里叶级数
$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)] $$其中：
$$ a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega t) dt $$ $$ b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n\omega t) dt $$指数形式的傅里叶级数
$$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega t} $$ $$ F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jn\omega t} dt $$4.3 典型周期信号的频谱 常考
周期矩形脉冲信号
幅度为 $E$，脉宽为 $\tau$，周期为 $T$：
$$ F_n = \frac{E\tau}{T} Sa\left(\frac{n\omega\tau}{2}\right) $$频谱特点：离散谱、谱线间隔 $\omega = 2\pi/T$、包络为 $Sa$ 函数。
周期信号的频谱特点
- 离散性— 频谱由不连续的谱线组成
- 谐波性— 谱线出现在基波频率的整数倍上
- 收敛性— 谱线幅度随 $n \to \infty$ 而趋于零
4.4 非周期信号的傅里叶变换 必考
傅里叶变换定义
常用信号的傅里叶变换
| 信号名称 | $f(t)$ | $F(j\omega)$ |
|---|---|---|
| 冲激信号 | $\delta(t)$ | $1$ |
| 阶跃信号 | $u(t)$ | $\pi\delta(\omega) + 1/j\omega$ |
| 矩形脉冲 | $g_\tau(t)$ | $\tau Sa(\omega\tau/2)$ |
| 单边指数 | $e^{-at}u(t)$ | $1/(a+j\omega)$ |
| 直流信号 | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ |
| 余弦信号 | $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi[\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)]$ |
4.5 傅里叶变换的性质 必考
| 性质 | 时域 | 频域 |
|---|---|---|
| 线性 | $a f_1 + b f_2$ | $a F_1 + b F_2$ |
| 对称性 | $F(t)$ | $2\pi f(-\omega)$ |
| 尺度变换 | $f(at)$ | $\frac{1}{|a|}F(j\omega/a)$ |
| 时移 | $f(t-t_0)$ | $F(j\omega)e^{-j\omega t_0}$ |
| 频移 | $f(t)e^{j\omega_0 t}$ | $F[j(\omega-\omega_0)]$ |
| 时域微分 | $f'(t)$ | $j\omega F(j\omega)$ |
| 时域积分 | $\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau$ | $\pi F(0)\delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega}$ |
| 卷积定理 | $f_1 * f_2$ | $F_1(j\omega) \cdot F_2(j\omega)$ |
| 乘积定理 | $f_1 \cdot f_2$ | $\frac{1}{2\pi}F_1 * F_2$ |
已知 $g_\tau(t) \leftrightarrow \tau Sa(\omega\tau/2)$，求 $f(t) = g_\tau(t-t_0)$ 的傅里叶变换。
由时移性质：$F(j\omega) = \tau Sa(\omega\tau/2) \cdot e^{-j\omega t_0}$
4.6 周期信号的傅里叶变换 常考
周期信号 $f(t)$ 可以展开为傅里叶级数，再取傅里叶变换：
$$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega t} \quad \Rightarrow \quad F(j\omega) = 2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n\omega) $$4.7 LTI系统的频域分析 常考
频率响应函数
$$ H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{F(j\omega)} $$系统零状态响应：$y_{zs}(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(j\omega) \cdot H(j\omega)]$
频率响应的物理意义
$H(j\omega)$ 反映了系统对不同频率分量的幅度和相位的调制作用：
$$ H(j\omega) = |H(j\omega)| e^{j\varphi(\omega)} $$4.8 取样定理 必考
时域取样定理（Nyquist定理）
$$ \omega_s \geq 2\omega_m \quad \text{或} \quad f_s \geq 2f_m $$
Nyquist频率和间隔
Nyquist频率
$$ \omega_N = 2\omega_m $$Nyquist间隔
$$ T_N = \frac{\pi}{\omega_m} = \frac{1}{2f_m} $$$x(t) = \sin(200\pi t) / (\pi t)$，求Nyquist频率和间隔。
解：
$\displaystyle \frac{\sin(200\pi t)}{\pi t} = 200 Sa(200\pi t)$
$\omega_m = 200\pi$ rad/s，$f_m = 100$ Hz
Nyquist频率 $\omega_N = 400\pi$ rad/s，$f_N = 200$ Hz
Nyquist间隔 $T_N = 1/(2f_m) = 1/200 = 0.005$ s
📘 第5章 连续系统的s域分析（拉普拉斯变换）
将时域微分方程转化为复频域代数方程，简化系统分析。
5.1 拉普拉斯变换 必考
定义
其中 $s = \sigma + j\omega$ 为复频率。
收敛域（ROC）
使 $F(s)$ 存在的 $\sigma$ 取值范围称为收敛域。ROC是平行于 $j\omega$ 轴的带状区域。
5.2 拉普拉斯变换的性质 必考
| 性质 | 时域 | s域 |
|---|---|---|
| 线性 | $a f_1 + b f_2$ | $a F_1 + b F_2$ |
| 尺度变换 | $f(at)$ | $\frac{1}{a}F(s/a)$ |
| 时移 | $f(t-t_0)u(t-t_0)$ | $F(s)e^{-st_0}$ |
| 复频移 | $e^{s_0 t}f(t)$ | $F(s-s_0)$ |
| 时域微分 | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0_-)$ |
| 时域积分 | $\int_{0_-}^t f(\tau)d\tau$ | $F(s)/s$ |
| s域微分 | $-t f(t)$ | $F'(s)$ |
| 卷积定理 | $f_1 * f_2$ | $F_1(s) \cdot F_2(s)$ |
5.3 拉普拉斯逆变换 必考
部分分式展开法
将 $F(s)$ 写成有理分式形式，分解为部分分式之和：
$$ F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{K_i}{s-p_i} $$5.4 复频域系统分析 必考
s域系统分析
对微分方程两边取拉普拉斯变换（考虑初始条件）：
$$ Y(s) = \frac{B(s)}{A(s)}F(s) + \frac{M(s)}{A(s)} = Y_{zs}(s) + Y_{zi}(s) $$其中：
- $Y_{zs}(s) = H(s)F(s)$ — 零状态响应的s域表示
- $Y_{zi}(s) = M(s)/A(s)$ — 零输入响应的s域表示（由初始条件决定）
$y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f(t)$，$y(0_-)=1$，$y'(0_-)=0$，$f(t)=e^{-3t}u(t)$
取拉普拉斯变换：
$$ [s^2Y(s) - sy(0_-) - y'(0_-)] + 3[sY(s) - y(0_-)] + 2Y(s) = F(s) $$ $$ (s^2 + 3s + 2)Y(s) = F(s) + s + 3 $$ $$ Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}F(s) + \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} $$代入 $F(s)=1/(s+3)$ 后做部分分式展开，再求逆变换。
5.5 系统函数 H(s) 必考
系统函数的定义
$$ H(s) = \frac{Y_{zs}(s)}{F(s)} = \frac{\text{零状态响应的s变换}}{\text{输入的s变换}} $$系统函数的物理意义
冲激响应
$$ h(t) = \mathcal{L}^{-1}[H(s)] $$频率响应
$$ H(j\omega) = H(s)|_{s=j\omega} $$系统特性
极点位置决定系统稳定性5.6 系统的稳定性 常考
稳定性判据
所有极点位于s左半平面
$\text{Re}(p_i) < 0$ 对所有极点成立
存在极点位于s右半平面
或s平面虚轴上有重极点
📗 第6章 离散系统的z域分析（Z变换）
将离散系统的差分方程转化为z域代数方程，类比拉普拉斯变换在连续系统中的作用。
6.1 Z变换 必考
定义
其中 $z = re^{j\theta}$ 为复变量。
收敛域（ROC）
使 $\sum |f(k)z^{-k}| < \infty$ 的 $z$ 取值范围。
6.2 Z变换的性质 必考
| 性质 | 时域 | z域 |
|---|---|---|
| 线性 | $a f_1 + b f_2$ | $a F_1 + b F_2$ |
| 移位（右移） | $f(k-n)u(k)$ | $z^{-n}F(z)$ |
| 移位（左移） | $f(k+n)$ | $z^n[F(z) - \sum_{i=0}^{n-1} f(i)z^{-i}]$ |
| z域尺度 | $a^k f(k)$ | $F(z/a)$ |
| z域微分 | $k f(k)$ | $-z\frac{d}{dz}F(z)$ |
| 卷积定理 | $f_1 * f_2$ | $F_1(z) \cdot F_2(z)$ |
| 初值定理 | $f(0) = \lim_{z\to\infty} F(z)$ | |
| 终值定理 | $f(\infty) = \lim_{z\to 1} (z-1)F(z)$ | （需收敛域含单位圆外） |
6.3 逆Z变换 必考
部分分式展开法
将 $F(z)$ 展开为 $z/(z-p_i)$ 形式：
$$ \frac{F(z)}{z} = \sum_{i=1}^{n} \frac{K_i}{z-p_i} $$然后：$F(z) = \sum K_i \frac{z}{z-p_i}$，查表得 $K_i p_i^k u(k)$
求 $F(z) = \dfrac{z}{(z-1)(z-2)}$，$|z|>2$ 的逆Z变换。
解：
$$ \frac{F(z)}{z} = \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{-1}{z-1} + \frac{1}{z-2} $$ $$ F(z) = -\frac{z}{z-1} + \frac{z}{z-2} $$ $$ f(k) = [-1 + 2^k] u(k) $$6.4 Z域系统分析 必考
z域系统分析步骤
6.5 系统函数H(z)与稳定性 常考
系统函数
$$ H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{F(z)} = \frac{B(z)}{A(z)} $$$h(k) = \mathcal{Z}^{-1}[H(z)]$ 是系统的单位序列响应。
稳定性判据
$H(z)$ 的所有极点位于z平面
单位圆内
$|p_i| < 1$
存在极点位于单位圆外
或单位圆上有重极点
频率响应
对于稳定系统，令 $z = e^{j\theta}$：
$$ H(e^{j\theta}) = H(z)|_{z=e^{j\theta}} $$即为系统的频率响应函数（DTFT）。
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