🧪 信号与系统 · 考试题库

线性系统满足齐次性和叠加性：
$T[af_1 + bf_2] = aT[f_1] + bT[f_2]$

对于 $y(t)=tf(t)$：
$T[af_1+bf_2] = t[af_1+bf_2] = a\cdot t f_1 + b\cdot t f_2 = a y_1 + b y_2$
满足叠加性和齐次性，因此是线性系统。

① 零输入响应 $y_{zi}(t)$：无外部输入时，仅由初始状态引起的响应。
② 零状态响应 $y_{zs}(t)$：初始状态为零时，仅由外加输入引起的响应。

两种分解形式：
形式一（数学解法）：全响应 = 齐次解 + 特解
形式二（物理分解）：全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

时域取样定理：一个频谱在区间 $(-f_m, f_m)$ 外为零的带限信号 $f(t)$，可唯一地由其等间隔取样值 $f(kT_s)$ 确定。

条件：取样频率 $f_s \geq 2f_m$（或取样间隔 $T_s \leq 1/(2f_m)$）。
此时 $f_s$ 称为Nyquist频率，$T_{s,max} = 1/(2f_m)$ 称为Nyquist间隔。

若 $f_s < 2f_m$，则频谱混叠，无法无失真恢复原信号。

$H(s)$ 的定义：$H(s) = \dfrac{Y_{zs}(s)}{F(s)}$，即零状态响应的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。

与 $h(t)$ 的关系：$h(t) = \mathcal{L}^{-1}[H(s)]$，$H(s) = \mathcal{L}[h(t)]$

与 $H(j\omega)$ 的关系：对于稳定系统，$H(j\omega) = H(s)|_{s=j\omega}$，即令 $s=j\omega$ 得到系统的频率响应函数。

连续系统：$H(s)$ 的所有极点位于s左半平面，即 $\text{Re}(p_i) < 0$。
离散系统：$H(z)$ 的所有极点位于z平面单位圆内，即 $|p_i| < 1$。

对应关系：$z = e^{sT_s}$（$T_s$ 为取样间隔）
- s左半平面 $(\sigma < 0)$ → z平面单位圆内 $(|z| < 1)$
- s虚轴 $(\sigma = 0)$ → z平面单位圆上 $(|z| = 1)$
- s右半平面 $(\sigma > 0)$ → z平面单位圆外 $(|z| > 1)$

LTI系统定义：同时满足线性和时不变性的系统。
线性：满足齐次性和叠加性，即 $T[c_1f_1(t)+c_2f_2(t)] = c_1T[f_1(t)] + c_2T[f_2(t)]$。
时不变性：系统的参数不随时间变化，即若 $y(t)=T[f(t)]$，则 $y(t-t_0)=T[f(t-t_0)]$。
判断方法：① 分别检验是否满足齐次性和叠加性；② 检验时不变性；③ 两者都满足则为LTI系统。典型的LTI系统例子：由常系数线性微分方程描述的系统。

单位冲激信号 $\delta(t)$：$\delta(t)=0\;(t\neq0)$，$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$，具有筛选性质 $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$。
单位阶跃信号 $u(t)$：$u(t)=\begin{cases}0,&t<0\\1,&t>0\end{cases}$。
关系：$u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau$，$\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$。
作用：$\delta(t)$ 用于求解系统的冲激响应 $h(t)$，$u(t)$ 用于求解阶跃响应。任何信号都可以分解为冲激信号的线性组合，这是卷积积分的基础：$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$。

定义：$y(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$。
主要性质：① 交换律 $f_1*f_2=f_2*f_1$；② 结合律 $(f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3)$；③ 分配律 $f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3$；④ 微分性质 $\frac{d}{dt}[f_1*f_2]=f_1'*f_2=f_1*f_2'$；⑤ 积分性质 $\int_{-\infty}^{t}[f_1*f_2]d\tau=f_1*\int_{-\infty}^{t}f_2d\tau$；⑥ 与冲激信号的卷积 $f(t)*\delta(t)=f(t)$。
求解零状态响应：LTI系统的零状态响应等于激励信号 $f(t)$ 与冲激响应 $h(t)$ 的卷积：$y_{zs}(t)=f(t)*h(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$。

定义：$F(j\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$，$f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(j\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$。
主要性质：① 线性；② 时移 $f(t-t_0)\leftrightarrow F(j\omega)e^{-j\omega t_0}$；③ 频移 $f(t)e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow F[j(\omega-\omega_0)]$；④ 尺度变换 $f(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})$；⑤ 时域微分 $\frac{d^nf(t)}{dt^n}\leftrightarrow(j\omega)^nF(j\omega)$；⑥ 频域微分 $(-jt)^nf(t)\leftrightarrow\frac{d^nF(j\omega)}{d\omega^n}$；⑦ 卷积定理 $f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(j\omega)F_2(j\omega)$。
应用：通过频域分析，将时域的卷积运算转化为频域的乘法运算 $Y(j\omega)=F(j\omega)H(j\omega)$，大大简化了系统分析。

定义：$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$，其中 $s=\sigma+j\omega$ 为复频率。拉普拉斯逆变换：$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds$。
收敛域（ROC）：使拉普拉斯变换积分收敛的 $s$ 的取值范围，即满足 $\int_{0}^{\infty}|f(t)e^{-\sigma t}|dt<\infty$ 的 $\sigma$ 范围。ROC通常为复平面上某个 $\sigma>\sigma_0$ 或 $\sigma<\sigma_0$ 的半平面。
联系与区别：傅里叶变换是拉普拉斯变换在 $s=j\omega$（$\sigma=0$）时的特例。拉普拉斯变换扩展了傅里叶变换的适用范围，可以处理傅里叶变换不存在的信号（如指数增长信号），并能同时分析系统的瞬态和稳态响应。在系统分析中，$H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}$ 称为系统函数。

系统函数：$H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}$，即零状态响应与激励的拉普拉斯变换之比，也是冲激响应的拉普拉斯变换 $H(s)=\mathcal{L}[h(t)]$。$H(s)$ 一般可写为有理分式 $H(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0}$。
零极点与稳定性：令分子为零得零点，分母为零得极点。系统稳定的充要条件是：$H(s)$ 的所有极点都位于 $s$ 平面的左半平面（即所有极点实部 $\sigma<0$）。
① 若极点在左半平面 → 系统稳定（冲激响应衰减）；
② 若极点在虚轴上（一阶） → 系统临界稳定（等幅振荡）；
③ 若有极点在右半平面或虚轴上重根 → 系统不稳定（响应发散）。

定义：$F(z)=\mathcal{Z}[f(k)]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$，单边Z变换 $\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k}$，其中 $z=re^{j\theta}$ 为复变量。
收敛域：使级数 $\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)z^{-k}|$ 收敛的 $z$ 的取值范围。收敛域通常为 $|z|>R$（右边序列）、$|z|<R$（左边序列）或 $R_1<|z|<R_2$（双边序列）的圆环区域。
与拉普拉斯变换的关系：Z变换可理解为对离散信号 $f(k)$ 的拉普拉斯变换，通过 $z=e^{sT}$（$T$ 为采样周期）将 $s$ 平面映射到 $z$ 平面：$s$ 平面的左半平面映射到 $z$ 平面的单位圆内部。系统稳定性判据：$H(z)$ 的所有极点位于单位圆内部。

时域取样定理：一个频带受限的信号 $f(t)$（最高频率为 $f_m$），如果以 $f_s\geq 2f_m$ 的取样率进行取样，则取样信号 $f_s(t)$ 可以唯一地恢复出原信号 $f(t)$。
奈奎斯特频率：$f_N=2f_m$ 称为奈奎斯特取样率，$T_N=1/(2f_m)$ 称为奈奎斯特间隔。
不满足的后果——混叠（Aliasing）：如果 $f_s<2f_m$，则取样后的频谱会发生重叠（频谱混叠），无法通过低通滤波器无失真地恢复原信号。实际应用中通常取 $f_s > 2f_m$（如CD音频取 44.1kHz，高于人耳最高频率 20kHz 的两倍）。

$f(t) = u(t+1) - u(t-2)$ 是一个宽度为3、幅度为1的门函数。

卷积 $y(t) = f(t) * f(t)$：
$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) f(t-\tau) d\tau$

由于 $f(t)$ 是宽度3的门函数，卷积结果是一个等腰三角形：
$y(t) = \begin{cases} t+2, & -2 \leq t \leq -1 \\ 1, & -1 \leq t \leq 1 \\ -t+2, & 1 \leq t \leq 4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

波形为底宽6、顶宽2、高度为1的等腰梯形。

对方程两边取拉普拉斯变换，考虑初始条件：
$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 5[sY(s) - y(0)] + 6Y(s) = F(s)$
代入 $y(0)=1,\;y'(0)=0$：
$(s^2+5s+6)Y(s) - (s+5) = F(s)$

其中 $F(s) = \mathcal{L}[e^{-t}u(t)] = \frac{1}{s+1}$

所以 $Y(s) = \frac{s+5}{s^2+5s+6} + \frac{1}{(s+1)(s^2+5s+6)}$
$= \frac{s+5}{(s+2)(s+3)} + \frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

部分分式展开：
$Y(s) = \frac{3}{s+2} - \frac{2}{s+3} + \frac{\frac{1}{2}}{s+1} - \frac{1}{s+2} + \frac{\frac{1}{2}}{s+3}$
$= \frac{\frac{1}{2}}{s+1} + \frac{2}{s+2} - \frac{\frac{3}{2}}{s+3}$

取逆变换：
$y(t) = \frac{1}{2}e^{-t}u(t) + 2e^{-2t}u(t) - \frac{3}{2}e^{-3t}u(t)$

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^{\infty} e^{-2t}e^{-j\omega t}dt$
$= \int_{0}^{\infty} e^{-(2+j\omega)t}dt = \frac{1}{2+j\omega}$

幅度频谱：$|F(j\omega)| = \left|\frac{1}{2+j\omega}\right| = \frac{1}{\sqrt{2^2 + \omega^2}} = \frac{1}{\sqrt{4+\omega^2}}$

相位频谱：$\angle F(j\omega) = -\arctan\left(\frac{\omega}{2}\right)$

这是一个低通特性，当 $\omega=0$ 时 $|F(0)| = \frac{1}{2}$，当 $\omega \to \infty$ 时 $|F(j\omega)| \to 0$。

$F(s) = \mathcal{L}[e^{-3t}u(t)] = \frac{1}{s+3}$

零状态响应：$Y_{zs}(s) = H(s)F(s) = \frac{s+1}{(s^2+3s+2)(s+3)}$
$= \frac{s+1}{(s+1)(s+2)(s+3)} = \frac{1}{(s+2)(s+3)}$

部分分式展开：$\frac{1}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}$
$A = \left.\frac{1}{s+3}\right|_{s=-2} = 1$
$B = \left.\frac{1}{s+2}\right|_{s=-3} = -1$

所以 $Y_{zs}(s) = \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3}$

取逆变换：$y_{zs}(t) = (e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$

对方程两边取Z变换，利用时移性质：
$Y(z) - 5[z^{-1}Y(z) + y(-1)] + 6[z^{-2}Y(z) + z^{-1}y(-1) + y(-2)] = F(z)$
代入 $y(-1)=1,\;y(-2)=0$：
$Y(z)(1 - 5z^{-1} + 6z^{-2}) - 5 + 6z^{-1} = F(z)$

其中 $F(z) = \mathcal{Z}[u(k)] = \frac{z}{z-1}$

$Y(z) = \frac{5 - 6z^{-1}}{1 - 5z^{-1} + 6z^{-2}} + \frac{z}{(z-1)(1 - 5z^{-1} + 6z^{-2})}$

化简并部分分式展开：
$Y(z) = \frac{5z^2 - 6z}{(z-2)(z-3)} + \frac{z^3}{(z-1)(z-2)(z-3)}$

整理得：$Y(z) = \frac{1}{2}\cdot\frac{z}{z-1} - \frac{z}{z-2} + \frac{3}{2}\cdot\frac{z}{z-3}$

取逆Z变换：$y(k) = \left[\frac{1}{2} - 2^k + \frac{3}{2}\cdot 3^k\right]u(k)$

判断系统稳定性就是判断 $H(s)$ 的所有极点是否在 $s$ 平面左半平面。

分母多项式 $D(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2$

用因式分解求极点：$D(s) = (s+1)(s^2+3s+2) = (s+1)(s+1)(s+2) = (s+1)^2(s+2)$

极点：$s_1 = -1$（二重根），$s_2 = -2$（单根）

所有极点的实部均小于0，全部位于左半平面。

结论：系统稳定。冲激响应 $h(t)$ 包含 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$ 项，均为衰减形式。

（1）冲激响应 $h(t)$：特征方程 $\lambda^2+2\lambda+1=0$，$\lambda_{1,2}=-1$（二重根）。$h(t)=te^{-t}u(t)$。

（2）零输入响应 $y_{zi}(t)$：$y_{zi}(t)=(C_{zi1}+C_{zi2}t)e^{-t}$。由 $y_{zi}(0_+)=y(0_-)=2$，$y_{zi}'(0_+)=y'(0_-)=1$，得 $C_{zi1}=2$，$C_{zi2}=3$。
$y_{zi}(t)=(2+3t)e^{-t}u(t)$。

（3）零状态响应 $y_{zs}(t)$：$y_{zs}(t)=f(t)*h(t)=[(t-1)e^{-t}+e^{-2t}+te^{-2t}]u(t)$。

（4）全响应：$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=(1+4t)e^{-t}+e^{-2t}+te^{-2t}$。

（1）$h(k)$：特征根 $\lambda_1=1,\lambda_2=2$，$h(k)=(-1+2^{k+1})u(k)$。
（2）$y_{zi}(k)$：$y_{zi}(k)=(-1+4\cdot2^k)u(k)$。
（3）全响应：$y_{zs}(k)=[k\cdot2^{k+1}]u(k)$，$y(k)=(-1+4\cdot2^k+k\cdot2^{k+1})u(k)$。

（1）$F(j\omega)$：$f(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t)$，$F(j\omega)=\frac{j\omega}{1+j\omega}$。
（2）$y(t)$：$Y(j\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^2}$，$y(t)=(1-t)e^{-t}u(t)$。
（3）$Y(j\omega)$：$Y(j\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^2}$，$|Y(j\omega)|=\frac{|\omega|}{1+\omega^2}$。

（1）零极点：$H(s)=\frac{2}{(s+1)(s+3)}$（零极点相消后），极点 $p=-1,-3$。
（2）稳定性：极点均在左半平面，系统稳定。
（3）$h(t)$：$h(t)=(e^{-t}-e^{-3t})u(t)$。
（4）$y_{zs}(t)$：$y_{zs}(t)=(-\frac12 e^{-t}+te^{-t}+\frac12 e^{-3t})u(t)$。